Theorem 3 PROOF

For any $a$ E $\mathbb{R}$, $-(a)=a$. $a+(-a)=0$ ; $a+(-a)=0$ and $(-a)+(-(-a))=0$ ; Existence of Additive Inverse

Then, $(-a)+(-(-a))=0$ $(-a)+(-a(-a))+a=0+a$ $(-a)+[-(-a)+a]=a$ $(-a)+[a+(-(-a))=a]$ $[-a+a]+(-(-a))=a$ $=+(-(-a))=a$ $(-a)+(-(-a))=0$